レンズの公式

レンズの公式（レンズのこうしき）は幾何光学における公式であり、

物面から主点までの距離 A
主点から像面までの距離 B
焦点距離 F （主点と焦点の距離）

の関係が理想的には ${1 \over A}+{1 \over B}={1 \over F}$ と表されるというものである。ただし、焦点距離 F は凹レンズなどの発散系では負とし、像面までの距離 B は虚像では負とする。物が無限遠にある場合は左辺第1項を0、像が無限遠方の虚像である場合は左辺第2項を0として成立する。

この公式は単レンズだけでなく凹面鏡・凸面鏡や、複数のレンズ・鏡を組み合わせた光学系にも（主点・焦点が定義できるならば）適用できる。

凸レンズ

焦点の外側に物体がある場合

（証明）

$\triangle abo$ と $\triangle a'b'o$ が相似であることより

$\begin{align} ab:a'b' &= bo:b'o' \\ &= A:B\\ \end{align}$

と言え、また $\triangle pof$ と $\triangle a'b'f$ が相似であることより

$\begin{align} po:a'b' &= of:b'f \\ &= F:(B-F) \\ \end{align}$

と言える。 $a b = p o$ であるから

$\begin{array}{lcl} A:B & = & F:(B-F) \\ A(B-F) & = & BF \\ AB-AF & = & BF \\ BF+AF & = & AB \end{array}$

となり、これを $(A B F)$ で割ると

$\begin{array}{lcl} \frac{BF}{ABF}+ \frac{AF}{ABF} & = & \frac{AB}{ABF} \\ \therefore \frac{1}{A}+ \frac{1}{B} & = & \frac{1}{F} \end{array}$

(証明終わり)

焦点の内側に物体がある場合

（証明）

$\triangle a'bo$ と $\triangle ab'o$ が相似であることより、

$\begin{align} a'b:ab' &= bo:b'o' \\ &= B:A \\ \end{align}$

と言え、また $\triangle pof$ と $\triangle a'bf$ が相似であることより、

$\begin{align} a'b:po &= bf:of \\ &= (B+F):F \\ \end{align}$

と言える。 $a b' = p o$ であるから、

$\begin{array}{lcl} B:A & = & (B+F):F \\ A(B+F) & = & BF \\ AB+AF & = & BF \\ BF-AF & = & AB \end{array}$

となり、これを $(A B F)$ で割ると、

$\begin{array}{lcl} \frac{BF}{ABF}- \frac{AF}{ABF} & = & \frac{AB}{ABF} \\ \therefore \frac{1}{A} - \frac{1}{B} & = & \frac{1}{F} \end{array}$

像が虚像であるため B を負の数で表し B' = -B とおくと、上式は

$\frac{1}{A} + \frac{1}{B'} = \frac{1}{F}$

となる。

(証明終わり)

凹レンズ

（証明）

$\triangle abo$ と $\triangle a'b'o$ が相似であることより、

$\begin{align} ab:a'b' &= bo:b'o' \\ &= A:B\\ \end{align}$

と言え、また $\triangle pof$ と $\triangle a'b'f$ が相似であることより、

$\begin{align} po:a'b' &= of:b'f \\ &= F:(F-B) \\ \end{align}$

と言える。ところで、 $a b = p o$ であるから、

$\begin{array}{lcl} A:B & = & F:(F-B) \\ A(F-B) & = & BF \\ AF-AB & = & BF \\ BF-AF & = & -AB \end{array}$

となり、これを $(A B F)$ で割ると、

$\begin{array}{lcl} \frac{BF}{ABF}- \frac{AF}{ABF} & = & -\frac{AB}{ABF} \\ \therefore \frac{1}{A}- \frac{1}{B} & = &- \frac{1}{F} \end{array}$

凹レンズによる虚像であるため B, F を負の数で表し F' = -F; B' = -B とおくと、上式は

$\frac{1}{A} + \frac{1}{B'} = \frac{1}{F'}$

となる。

(証明終わり)

関連項目

レンズ

カテゴリ: 幾何光学

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