集合

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数学における集合（しゅうごう、英: set, 仏: ensemble, 独: Menge）とは、大雑把に言えばいくつか（有限または無限）の「もの」からなる「集まり」である。集合に含まれる「もの」のことを元（げん、element; 要素）という。

集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。

慣例的に、ある種の集合が系（けい、system）や族（ぞく、family）などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。

導入

詳細は「素朴集合論」を参照

集合は「もの」の「集まり」である。集合の元（要素）として集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも（もちろん集合でも）構わない。

一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んでよいわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。

たとえば、トランプのスート全体 {♠, ♦, ♣, ♥} やトランプの数字全体 {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} は集合の例である。トランプは（ジョーカーを除いて）これらの組

{(♠,A), ..., (♠,K), (♦,A), ..., (♦,K), (♣,A), ..., (♣,K), (♥,A), ..., (♥,K)}

を符牒とする52枚のカードであるが、これもまた集合の一例になっている。とくにこれはスートの集合と数字の集合との直積集合の例であり、また 52 というのはこの集合の濃度 (数学)を表している。また、先のスートの集合、数字の集合の濃度はそれぞれ 4, 13 である。

トランプの記号
	A	2	3	4	5	6	7	8	9	10	J	Q	K
♠	(♠,A)	(♠,2)	(♠,3)	(♠,4)	(♠,5)	(♠,6)	(♠,7)	(♠,8)	(♠,9)	(♠,10)	(♠,J)	(♠,Q)	(♠,K)
♦	(♦,A)	(♦,2)	(♦,3)	(♦,4)	(♦,5)	(♦,6)	(♦,7)	(♦,8)	(♦,9)	(♦,10)	(♦,J)	(♦,Q)	(♦,K)
♣	(♣,A)	(♣,2)	(♣,3)	(♣,4)	(♣,5)	(♣,6)	(♣,7)	(♣,8)	(♣,9)	(♣,10)	(♣,J)	(♣,Q)	(♣,K)
♥	(♥,A)	(♥,2)	(♥,3)	(♥,4)	(♥,5)	(♥,6)	(♥,7)	(♥,8)	(♥,9)	(♥,10)	(♥,J)	(♥,Q)	(♥,K)

集合を表すプレースホルダにはしばしばラテン文字の大文字 A, B, ..., E, F, ..., M, N, ..., S, T, ..., X, Y, ... など^[1]を使い、集合の元は（とくに集合を表すのに使った文字に対応する）ラテン小文字 a, ..., e, ..., m, ..., s, ..., x, ... とすることが多い^[2]。

帰属と包含

詳細は「部分集合」、「包含関係」、「元 (数学)」、「帰属関係」をそれぞれ参照

集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。

帰属関係: 対象 a が考えている集合 A の元になっているとき、「a は集合 A に属す」「集合 A は a を元として含む」などといい、a ∈ A あるいは A ∋ a と表す。

包含関係: 2 つの集合 A, B について、A に属する元がすべて B にも属するとき、すなわち a ∈ A ⇒ a ∈ B が a の取り方に依らずに成り立つとき、「A は B の部分集合である」「A は B に集合として含まれる」「B は A を包含する」などといい、A ⊂ B または A ⊆ B あるいは B ⊃ または B ⊇ A と記す。

1 つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または ∅ と表す。如何なる集合も必ず空集合を部分集合として含むと考えられているが、各集合に包含されている空集合が何時如何なるときも同一のものであると考えるのは議論の便宜上必要な規約である。

集合の相等関係は、それらに帰属する元の相等によって定められる。つまり、2 つの集合が同じ元を全て含み、なおかつ異なる元をまったく含まないとき、2 つの集合が等しいという。集合 A と B が等しいことを A = B によって表す。これを包含関係を用いて表せば、

A = B ⇔ A ⊂ B かつ A ⊃ B

となる。

同じように「含む」といっても、帰属関係にあることと包含関係にあることとは異なる概念であって、混同してはならない。例えば、X ⊂ Y ⊂ Z ならば必ず X ⊂ Z であるが、X ∈ Y ∈ Z からは X ∈ Z は必ずしも導かれない。また、x ∈ A ⊂ B ならば x ∈ B であるが、x ⊂ A ∈ B からは x ∈ B を帰結することは一般にはできない。

集合の記述法

具体的な集合を取り扱うためには、集合を具体的に記述する方法が必要である。たとえば集合に属する元をすべて列挙することがひとつの方法である。たとえば 10 未満の自然数に属する奇数であるもの全体の集合は

{1, 3, 5, 7, 9}

と記すことができる。このように「集合に属する元をすべて列挙すること」で集合を記述する方法を集合の外延的記法と言う。集合のある外延的表示が与えられたとき、

{1, 2, 5, 7, 10} = {5, 1, 7, 2, 1, 5, 10, 2},
{x, y} = {y, x}^[3],
{(−1)¹, (−1)², (−1)³, ..., (−1)ⁿ} = {1, −1},

のようにそこに現れる元の順番を入れ替えたり、そこに含まれるのと同じ元をあらたに付け加えても、集合としてはもとのものと等しい^[3]。

また、集合に属する元が満たすべき条件を明示することも集合を記述する方法のひとつである。

N は全ての自然数からなる集合である、
Z の元は整数であって、整数はすべて Z に属す

のように、「ある集合に属するために元が満たさなければならない、かつ満たせばその元はその集合に属すという条件を明示すること」で集合を記述する方法を内包的記法と言う。対象 x が集合 S に属する必要十分な条件が P(x) であるということを

$S := \{x \mid P(x)\} = \{x : P(x)\}$

などで表す。すなわち {x | P(x)} は P(x) を満たすようなすべての元 x から構成される集合であるという意味である。条件 P(x) はふつう「x が X の元であって、さらに条件 Q(x) を満たす」というような形で与えられることが多い^[4]が、このとき定まる集合を {x | x ∈ X, Q(x)} のように書く代わりに、しばしば簡単に

$\{x \in X \mid Q(x)\}$

などと略記する。集合 {x ∈ X | Q(x)} は X の部分集合を与える。また同様に、条件 P(x) が「x は別の元 y によって式 φ(y) として表され、y が別な条件 R(y) を満たす」というような形で表されるときは、集合に属するべき元を代表する文字 x を φ(y) で替えて、

$\{\varphi(y) \mid R(y)\}$

と略記される。

集合の外延的記法と内包的記法は、必要に応じて使い分けられる。

A = {1,2,3,4,5},

B = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 5} = {n | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 5}

を例にとると、A は外延的、B は内包的に記述されてはいるが、A = B である。

元を外延的に書きつくせない集合（後述の無限集合など）を考えるとき、たとえば自然数に属するすべての奇数からなる集合^[5]

2N + 1 = {x ∈ N | x = 2n + 1 for some n ∈ Z}

はしばしば、外延的に

2N + 1 = {1, 3, 5, 7, ...}

のようにも書かれるが、"..." による省略部分は誤解を生じる余地があるため、このような記法はその省略された内容の意味が明らかである場合に限られる。

濃度

詳細は「濃度 (数学)」を参照

有限個の元からなる集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、finite set）と呼び、集合 A の元の個数を #(A), |A|, card(A) などの記号で表すことが多い。有限集合でない集合を無限集合（むげんしゅうごう、infinite set）という。無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、濃度（のうど、potency、または基数、cardinal number, cardinality）というものを考える。個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け（indexing; 添字付け）して、一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。

無限集合はどれも「無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。たとえば、自然数と有理数が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。同様の事実に、平面 R² と数直線 R は同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元や濃度が一方が他方を測るようなものではない異なる尺度であることを表しているのである。

集合の演算

いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。これらの操作は、集合に対する演算と見なすことによって、集合族に関するいくつかの代数系を提供する。それらの代数系を抽象代数系と見なせば、抽象代数学の一般論を適用することでまたいくつかの概念を提供することになる。

基本的な集合演算

詳細は「和集合」、「積集合」、「差集合」、「対称差」、「指示函数」をそれぞれ参照

結び・結合・和

二つの集合を「くっつけ」て一緒にしてしまうことで新しい集合を取り出すことができる。加法的な集合族の基本となる演算のひとつ。和集合。

$A\cup B := \{x\mid x\in A \or x\in B\}.$

交わり・交叉・積

二つの集合の共通した部分を見つけることで、新しい集合を取り出すことができる。乗法的な集合族の基本となる演算。積集合、共通部分。

$A\cap B := \{x\mid x\in A\and x\in B\}.$

直和・非交和

二つの集合の、交わりを持たない和。

差・相対補

二つの集合のうちの一方の集合について、それに帰属する元のうち、同時に他方にも含まれる元を取り除いて新しい集合を作ることができる。差は一方と他方の補集合との交わりであり、乗法的な演算である。

$A\smallsetminus B := \{x\mid x\in A \and x\notin B\}.$

補・絶対補

全体集合（普遍集合）が与えられ、任意の集合は全体集合の部分集合であるという仮定のもとで、一つの集合の全体からの差。勝手な集合はその補集合と交わりを持たず、それらの和は全体集合に一致する。

$\complement A := \{x\mid x\notin A\}.$

対称差

二つの集合の結びに帰属する元から、その交わりに属する元を取り除いて新しい集合を考えることができる。これは結びから交わりを引いた差である。結びと同様に加法的な演算。

$A\,\triangle\,B := (A\smallsetminus B)\cup(B\smallsetminus A).$

指示函数はこれらの集合演算を 0 と 1 からなる世界の代数的な演算に置き換える手段を与える。

$A \harr \boldsymbol{1}_A(x):=\begin{cases}1&(x\in A)\\0&(x\notin A)\end{cases}.$

その他の演算

詳細は「直積集合」、「冪集合」、「配置集合」、「商集合」をそれぞれ参照

上記演算は、全体集合が一つ与えられ、演算の引数となる集合たちがその部分集合であるならば、その演算結果もふたたび同じ全体集合の部分集合となるようなものである。一方、必ずしもそれが期待できないような演算もある。

冪

与えられた集合に対して、その冪集合に帰属する元は与えられた集合に包含される任意の集合である。ある集合の冪集合はその集合の部分集合からなる集合族のなかで最大のものであると言っても同じである。

$\begin{align}2^X &:= \{S\mid S\subset X\} \\ &\;= \{\{x\in X\mid\chi(x)=1\}\mid \chi\colon X \to \{0,1\} \text{ is a function} \}.\end{align}$

直積

二つの集合に対し、それぞれに帰属する元の順序付けられた対を要素とする集合を作ることができる。

$X\times Y := \{(x,y)\mid x\in X\and y\in Y\}.$

配置・写像空間

ある集合から別の集合への写像を一つの元と見なすならば、その全体として新たな集合が見出される。直積集合は、順序数の各元に任意の集合を対応させる写像からなる配置集合と見ることもできる。

$Y^X := \{f\mid f\colon X\to Y\text{ is a mapping}\}.$

商

集合に類別を与えるとき、各類をその要素とする集合を考えることができる。

$X/{\sim} {}:= \{[x]\mid x\in X\}, \text{ where } [x] := \{y\in X\mid y\sim x\}.$

いくつかの集合族

詳細は「集合代数」、「集合族」をそれぞれ参照

集合からなる族 A を考える。A が集合演算についていくつかの性質を満たすとき、それらには特別の名前が与えられることがある。

A が（有限）交叉について閉じているとき、π-系 (π-system) であるという。π-系が空集合を含むとき乗法族 (multiplicative class) であるといい、さらに可算交叉について閉じているとき δ-乗法族であるという。また、乗法族が包含関係を持つ任意の二つの集合に対し、一方から有限回の非交和を行って他方へ達する列を持つとき集合半環 (semi-ring of sets) という。
A が（有限）和と（有限）交叉について閉じているとき、集合の束あるいは集合環 (ring of sets) という。A が空集合でなく（あるいは空集合を元として含み）、和と差について閉じている（あるいは同じことだが対称差と交叉について閉じている）場合に限って集合環と呼ぶ場合もある。さらに可算交叉について閉じていれば δ-集合環、可算和について閉じていれば σ-集合環という。また、これらが全体集合を含むならば集合代数 (algebra of sets) あるいは集合体 (field of sets) という。δ-集合体は σ-集合体である。
A が空集合を含み、（有限）和および補について閉じているとき加法族 (additive class) であるという。さらに可算和について閉じているならば完全加法族 (countably additive class) という。集合族 A が加法族であることは集合体であることと等価であり、同様に完全加法族は σ-集合体の別名である。
単調族は包含関係に関する単調列の極限について閉じている集合族
ディンキン族は全体集合を含み、包含関係を持つ集合同士の差について閉じていて、可算増大列の極限について閉じている。λ-系は全体集合を含み、補について閉じていて、可算非交和について閉じている。この二つは同じ概念を定める。
層族 (laminar family)
ブール環

注記

^ 定数や変数に対する慣例を踏襲して A, B, ... や X, Y, ... が使われるほか、英語の set, ドイツ語の Menge, フランス語の ensenble の頭文字 S, M, E やその周辺の文字がよく使われる。
^ ラテンアルファベット以外にもギリシャ文字を使うこともある。集合の集合を考えるときは、元である集合に大文字を使うことから、筆記体 $\scriptstyle \mathcal{A,\ldots, E,\ldots, M,\ldots, S,\ldots, X,\ldots}$ やドイツ文字 $\scriptstyle \mathfrak{A,\ldots, M,\ldots, X,\ldots}$ で記したりする。このような入れ子構造は何重にも複雑な形で現われたり、同じものが違った見方をされたりするので、このような文字種の変更を行わないこともよくある。
^ ^い ^ろ集合 {x, y} を x と y との順序を気にしない対という意味で非順序対 (unordered pair) と呼ぶことがある。順序を気にする場合は順序対という。また、集合では {x, x} = {x} だが、多重集合では {x, x} ≠ {x} である（x の重複度が左辺は 2 で右辺は 1）。
^ 「x が X の元であって」というような断り書きをしない場合にも、実際には「普遍集合」(universal set) あるいは「宇宙」(universe) と呼ばれる、必要な議論を展開することができる程度に十分大きな集合を（仮想的に）考え、集合と言えば必ずその普遍集合の部分集合だけを考えているといったようなことがしばしば行われる。条件 P(x) の形から x の属するべき集合 X がある程度限定される場合にも、断り書きはしばしば省略される。
^ ここで "2N + 1" はそれ自体を一つの記号として集合を表す符牒として用いているのであって、決して集合を 2-倍したり集合に 1 を加えたりといった概念を考えるものではないことに注意。

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